COMPUTING UNIMODULAR MATRICES OF POWER TRANSFORMATIONS

Issue number 1 from 17.09.2025

Здесь указан алгоритм решения следующей задачи. Пусть в n-мерном вещественном пространстве задано \(m < n\) целочисленных векторов. Их линейная оболочка образует линейное подпространство L в \({{\mathbb{R}}^{n}}\). Требуется вычислить такую унимодулярную матрицу, что линейное преобразование с ней переводит подпространство L в координатное. Также приведены программы, реализующие эти алгоритмы, и степенные преобразования, для которых они предназначены.

20 0

COMPUTING LEVEL LINES OF A POLYNOMIAL ON THE PLANE

Issue number 2 from 17.09.2025

Демонстрируется применение метода вычисления расположения всех типов линий уровня вещественного многочлена на вещественной плоскости, теория которого основана на методах локального и глобального анализа стредствами степенной геометрии и компьютерной алгебры. Подробно рассмотрены 3 нетривиальных примера вычисления линий уровня вещественных многочленов на вещественной плоскости. При этом используются следующие алгоритмы компьютерной алгебры: факторизация многочлена, вычисление базиса Гребнера, построение многоугольника Ньютона, изображение алгебраической кривой на плоскости. Показано, как преодолевать вычислительные трудности.

13 0

Integration of a degenerate system of ODEs

Issue number 2 from 17.09.2025

Изучается интегрируемость автономной двумерной полиномиальной системы ОДУ с вырожденной особой точкой в начале координат, зависящей от шести параметров. Условие интегрируемости первого квазиоднородного приближения позволяет фиксировать один из параметров на счетном множестве его значений. Дальнейший анализ проводится для одного такого значения и пяти свободных параметров. С помощью метода степенной геометрии система приводится к невырожденной форме при помощи процесса расщепления (blowup). Далее методом нормальной формы вычисляются необходимые условия локальной интегрируемости. Иными словами, ищутся такие условия на параметры, при которых исходная система является локально интегрируемой вблизи вырожденной стационарной точки. В результате решения этих условий мы нашли семь двухпараметрических семейств в пятимерном параметрическом пространстве. При значениях параметров из этих семейств были найдены первые интегралы системы. Громоздкие вычисления, возникающие в обсуждаемой задаче, были выполнены средствами компьютерной алгебры.

10 0